Giới thiệu bài toán

Dưới đây là giới thiệu về các đa diện đều Platon và dùng đặc trưng Euler để chứng minh chỉ có đúng 5 đa diện đều.

Các định nghĩa

Khối đa diện lồi

Khối đa diện (H) được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của (H) luôn thuộc (H). Khi đó đa diện xác định (H) được gọi là đa diện lồi.

Khối đa diện lồi đều

Là khối đa diện lồi có tính chất sau đây:
a) Mỗi mặt của nó là một đa giác đều p cạnh.
b) Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng q mặt.
Khối đa diện đều như vậy được gọi là khối đa diện đều loại (p,q).

Phân chia tam giác

Một phân chia tam giác của một không gian tôpô là một đồng phôi từ không gian đó vào một không gian con của không gian Euclid nhận được từ một phép dán của những tam giác.
Phép dán những tam giác tuân theo quy tắc sau:

1. Chỉ được dán tam giác dọc theo cạnh.
2. Hai tam giác sẽ có cùng một cạnh hoặc hai tam giác sẽ có cùng một đỉnh.

Đặc trưng Euler

χ ( X ) = V − E + F {\displaystyle \chi _{(X)}=V-E+F}
χ ( X ) {\displaystyle \chi _{(X)}} gọi là đặc trưng Euler của đa diện X.
Trong đó:
V: là số đỉnh của khối đa diện X.
E: là số cạnh khối đa diện X.
F: là số mặt của khối đa diện X.

Các khối đa diện Platon

Các khối đa diện Platon gồm 5 khối đa diện đều lồi là: khối tứ diện đều, khối lập phương, khối tám mặt đều, khối mười hai mặt đều, khối hai mươi mặt đều.
Trong đó:

Khối tứ diện đều

Hình tứ diện đều• Khối tứ diện đều: là khối Platon với ba mặt hình tam giác được bố trí xung quanh mỗi đỉnh.

Số đỉnh	Số cạnh	Số mặt	(p,q)
4	6	4	(3,3)

• Platon xác định hình đa diện có hình dạng của các nguyên tử ngọn lửa.

Khối lập phương

Khối lập phương• Khối lập phương: là khối Platon với ba mặt hình vuông được sắp xếp xung quanh mỗi đỉnh.

Số đỉnh	Số cạnh	Số mặt	(p,q)
8	12	6	(4,3)

• Platon xác định hình đa diện có hình dạng của các nguyên tử đất.

Khối tám mặt đều

Khối tám mặt đều• Khối tám mặt đều: là khối Platon với bốn mặt hình tam giác được bố trí xung quanh mỗi đỉnh.

Số đỉnh	Số cạnh	Số mặt	(p,q)
6	12	8	(3,4)

• Platon xác định hình đa diện có hình dạng của các nguyên tử không khí.

Khối mười hai mặt đều

Khối mười hai mặt đều• Khối mười hai mặt đều: là khối Platon với ba mặt ngũ giác được sắp xếp xung quanh mỗi đỉnh.

Số đỉnh	Số cạnh	Số mặt	(p,q)
20	30	12	(5,3)

• Platon xác định đa diện này với hình dạng của các nguyên tử vũ trụ.

Khối hai mươi mặt đều

Khối hai mươi mặt đều• Khối hai mươi mặt đều: là khối Platon với năm khuôn mặt hình tam giác được bố trí xung quanh mỗi đỉnh.

Số đỉnh	Số cạnh	Số mặt	(p,q)
12	30	20	(3,5)

• Platon xác định hình đa diện này có hình dạng của các nguyên tử nước.